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基于你提供的教材《随机过程（第五版）》（刘次华著）的PDF内容，习题3（第39-40页） 的核心主题完全围绕着 泊松过程（Poisson Process） 及其衍生性质展开。

要同时学会这些习题并找到通解方法，你不需要死记每一道题的解法，而是要掌握泊松过程的四个核心“模型”。一旦你理解了这四种变换机制，习题3中的绝大多数题目就迎刃而解了。

以下是贯穿习题3的共通点和系统学习方法：

一、 核心共通点：泊松过程的“流”体特性

把泊松过程想象成水流或者交通流。所有的习题都在问这三个问题之一：

1. 水流进来了多少？（计数过程 $N(t)$）
2. 两滴水之间隔了多久？（时间间隔 $T$ 和等待时间 $W$）
3. 水流分叉了还是汇合了？（合成与分解）

二、 四把“万能钥匙”解题法

习题3的所有题目都可以归类为以下四个知识点的应用：

1. 叠加与分解（最重要，解决习题 3.1, 3.2, 3.5, 3.8）

这是泊松过程最实用的性质，也是习题中出现频率最高的。

• 分解（稀疏/Thinning）： 如果一个参数为 $\lambda$ 的泊松过程中的每个事件，以概率 $p$ 被选中（保留），那么选中的事件构成一个新的泊松过程，参数为 $\lambda p$。
  • 对应习题：
    • 3.2题（顾客买商品）：总顾客是 $\lambda$，买东西的概率是 $p$，那买东西的顾客流就是 $\lambda p$ 的泊松过程。
    • 3.8题（脉冲记录）：记录概率为 $p$，记录下来的脉冲流参数就是 $\lambda p$。
• 叠加（合成/Superposition）： 两个独立的参数为 $\lambda_1, \lambda_2$ 的泊松过程加在一起，还是泊松过程，参数为 $\lambda_1 + \lambda_2$。
  • 对应习题：
    • 3.1题：直接证明两个过程之和。
    • 3.5题（汽车颜色）：绿车、黑车、灰车汇入主路，总车流就是三个参数相加。

2. 时间分布的转换（解决习题 3.3, 3.4, 3.6, 3.7）

你要能熟练在“计数”和“时间”之间切换。

• 计数 $N(t)$： 服从泊松分布 $P(N(t)=k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}$。
• 间隔 $X_i$： 服从指数分布 $E(\lambda)$，具有无记忆性。
• 到达时间 $W_n$： 是 $n$ 个指数分布之和，服从 $\Gamma(n, \lambda)$ 分布。
  • 对应习题：
    • 3.4题（相邻时间间隔）：利用无记忆性，过去发生的事不影响未来。
    • 3.6题（$W_n$的期望）：利用 $E(W_n) = n/\lambda$。
    • 3.7题：利用泊松过程的条件均匀性（Order Statistics）。如果在 $[0,t]$ 内发生了 $n$ 个事件，这些事件发生的时间点服从 $[0,t]$ 上的均匀分布。这是一条高级性质，专门用来解复杂的条件概率题。

3. 非齐次泊松过程（解决习题 3.9, 3.11）

• 共通点： 当强度 $\lambda$ 不再是常数，而是随时间变化的函数 $\lambda(t)$ 时。
• 解题方法： 把它看作普通的泊松过程，只是把“$\lambda t$” 替换成了“$\int_0^t \lambda(s)ds$”（均值函数 $m(t)$）。
  • 对应习题：
    • 3.9题（商店营业）：顾客到达率随时间线性变化，积分求出均值函数即可套用公式。

4. 复合泊松过程（解决习题 3.10, 3.11）

• 共通点： 每次事件发生时，不仅记数+1，还带来了一个随机的数量 $Y_i$（比如顾客来了，还买了金额为 $Y$ 的东西）。
• 解题方法： 总量 $X(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} Y_i$。利用全期望公式：$E[X(t)] = E[N(t)]E[Y]$ 和 $D[X(t)] = \lambda t E[Y^2]$。
  • 对应习题：
    • 3.10题（移民户数）：每户人数随机，求总人口的期望方差。

三、 总结：如何系统学习

建议你按照以下顺序复习，就能打通习题3的系统：

1. 画图法： 做题前先画一条时间轴，标上叉叉代表事件发生。问问自己：是求叉叉的个数（泊松分布），还是求叉叉之间的距离（指数分布）？
2. 记住“变换口诀”：
   • 分流： 乘概率 $p$。
   • 合流： 加参数 $\lambda$。
   • 非齐次： 对 $\lambda(t)$ 积分。
   • 复合： 期望相乘，方差用特有公式。
3. 对比练习：
   • 把 3.2 和 3.8 放在一起做，你会发现它们完全是同一道题，只是换了背景（顾客 vs 脉冲）。
   • 把 3.1 和 3.5 放在一起做，它们都是考察可加性。

掌握了“叠加、分解、时间分布互换、积分代换”这四种逻辑，这一章的习题其实就是在反复应用同一个模型解决不同的应用场景而已。

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